تالس وقضیه خطوط موازی

خط های متوازی با فاصله های متساوی:

فعالیت:

به یک صفحه کاغذ خط دار از دفترتان نگاه کنید, خطوط موازی با فاصله های یکسان رسم شده اند اکنون روی آن خط راست دلخواهی رسم کنید تا خطوط افقی صفحه کاغذ را قطع کند, این خط راست توسط خطوط افقی به پاره خطهایی تقسیم می شود؛ این پاره خط ها را اندازه بگیرید و نتیجه را بیان کنید.

خطوط موازی روی صفحه کاغذ خط دار, خطهای موازی نقاشی شده در کف یک اتوبان,

خطوط موازی ایجاد شده, در نمای یک ساختمان سنگ فرش, خطوط موازی ریل های قطار و ... علاوه بر زیبایی ظاهری دارای کاربردها و خاصیتهای فراوان هستند. در ریاضیات به بررسی علمی این ویژگیها و کاربردهای آن ها در اشکال مختلف می پردازیم.

خاصیت خطوط موازی و متساوی الفاصله:

اگر چند خط متوازی خطی را قطع کنند و بر روی آن ،پاره خط های متساوی به وجود آورند ،این خط ها هر خط دیگری را قطع کنند ،بر روی آن نیز پاره خط های متساوی جدا خواهند کرد.

کاربرد «خاصیت خطوط موازی و به یک فاصله»

از این خاصیت می توان در تقسیم یک پاره خط به قسمتهای مساوی استفاده کرد.

مثال: پاره خط AB با اندازه ی دلخواه را در نظر بگیرید . می خواهیم آنرا به 5 قسمت مساوی تقسیم کنیم.

حل: این عمل به دو صورت انجام می گیرد.

í روش اول: در این روش به ترتیب زیر عمل می کنیم:

1- نیم خط AX را به دلخواه رسم می کنیم.

2- روی این نیم خط ۵ فاصله ی مساوی با شروع از A جدا می کنیم.

3- آخرین نقطه را به B وصل می کنیم واز بقیه ی نقاط موازی این خط می کشیم.

í روش دوم:در این در روش به ترتیب زیر عمل می کنیم.

1- دو نیم خط موازی AX و BY را رسم می کنیم.

2- روی هر کدام پنج قسمت مساوی جدا می کنیم.

3- آخرین نقطه روی نیم خط AX را به B وصل کرده و از بقیه ی نقاط موازی این خط می کشیم

نکته: با تنظیم فاصله ی بین خطوط موازی و صرف نظر کردن از خط های اضافی می توان پاره خط AB را به نسبت معین تقسیم کرد.

مثال: پاره خط AB با اندازه ی دلخواه را در نظر بگیرید، می خواهیم این پاره خط را به نسبت تقسیم کنیم.

حل: برای این کار به ترتیب زیر عمل می کنیم:

1- ابتدا مجموع نسبت ها را حساب می کنیم. 7=4+3

2- پاره خط AB را به 7 قسمت مساوی تقسیم می کنیم:

3- با صرف نظر کردن از خطوط موازی اضافی نسبت را روی پاره خط AB بوجود می آوریم.

خط های موازی و مثلث:

در شکل زیر، M وسط AB و خطهای آبی با هم موازیند.

í آیا نقطه ی N وسط AC است؟ بله (با توجه به خاصیت خطهای موازی و به یک فاصله)

í نسبت چه قدر است؟ 1 (چون دو مقدار مساوی هستند)

í آیا AM و AN مساوی هستند؟خیر

í نسبت چه قدر است؟ 1 (چون دو مقدار مساوی هستند)

بنابراین می توان نوشت:

یعنی: MN دو ضلع مثلث را به یک نسبت مساوی قطع می کند.

اکنون به شکل مقابل توجه کنید:

در شکل روبرو، خط MN با ضلع BC موازی است و خطهای آبی موازی و با فاصله های مساوی اند.

í آیا نقطه ی N وسط AC است؟ خیر

í نسبت چه قدر است؟

í آیا AM و AN مساوی هستند؟ خیر

í نسبت چه قدر است؟

بنابراین می توان نوشت: =

یعنی: MN دو ضلع مثلث را به یک نسبت مساوی قطع می کند

قضیه ی تالس: اگر خطی به موازات یکی از ضلع های مثلثی رسم شود و دو ضلع دیگر را قطع کند،روی آن ها پاره خط های متناسب جدا می کند.

نتیجه ی تالس:

اگر خطی موازی یک ضلع مثلث رسم شود مثلثی به وجود می آید

که اضلا عش با اضلاع مثلث اصلی متناسب است .یعنی:

تالس: ریاضی دان یونانی است(624-548 ق.م)که اولین بار به خاصیت خطوط موازی در مثلث پی برد .

عکس قضیه ی تالس: اگر خطی چنان رسم شود که دو ضلع مثلث را به یک نسبت قطع کند، با ضلع سوم موازی است.