علم ریاضی
این وبلاگ جهت استفاده علاقمندان به ریاضی ایجاد شده است.علم ریاضی
این وبلاگ جهت استفاده علاقمندان به ریاضی ایجاد شده است.
مثلث خیام - پاسکال و فراکتال‌ها
مقدمه
حتماً با «مثلث خیام – پاسکال» آشنا هستید:
 |
حال آیا در مورد «فراکتال»ها (معادل فارسی آن «برخال» است) چیزی شنیده‌اید. در این مورد در کتاب‌های درسی ریاضی‌اتان مطالبی گفته شده است. در واقع «برخال»ها موجوداتی هندسی‌اند که هرچه آن را از نزدیک نگاه کنیم شبیه شکل نخستین است مانند: «گل کلم». به این اشیا اصطلاحاً «خودمتشابه» گویند.
در سال ۱۹۰۴ «هلگه فون کخ» به‌همراه خلاصه‌ای از «تعریف تحلیلی وایرشتراس»، تعریف هندسی‌تری از تابع متشابه ارائه داد که حالا به «برفدانه کخ» معروف است. در سال ۱۹۱۵ «واکلو سرپینسکی» مثلث‌اش را و سال بعد فرش‌اش (برخالی) را ساخت. ایده‌ی «منحنی‌های خودمتشابه» توسط «پاول پیر لوی» مطرح شد او در مقاله‌اش در سال ۱۹۳۸ با عنوان «سطح یا منحنی‌های فضایی» و «سطوحی شامل بخش‌های متشابه نسبت به کل» منحنی برخالی جدیدی را توصیف کرد. منحنی «لوی سی. گئورگ کانتور»مثالی از زیرمجموعه‌های خط حقیقی با ویژگی‌های معمول ارائه داد. این «مجموعه‌های کانتور» اکنون به‌عنوان«برخال» شناخته می‌شوند. اواخر قرن نوزدهم و اوایل قرن بیستم «توابع تکرار شونده در سطح پیچیده» توسط «هانری پوانکاره»،«فلیکس کلاین»، «پیر فاتو» و «گاستون جولیا» شناخته شده بودند. با این وجود بدون کمک گرافیک کامپیوتری آن‌ها نسبت به نمایش زیبایی بسیاری از اشیایی که کشف کرده بودند، فاقد معنی بودند. nمثلث خیام - پاسکال حال با این توضیح مختصر در مورد برخال‌ها برمی‌گردیم به «مثلث خیام – پاسکال». در مورد این مثلث زیاد شنیده‌ایم از جمله در مورد کاربرد فراوانش در نظریه‌ی اعداد و ترکیبیات. حال می‌خواهم یک «برخال» ساده را در این مثلث به شما نشان دهم. موضوعی که باعث می‌شود این مثلث جایی را نیز در دنیای برخال‌ها – یعنی سیستم‌های دینامیکی – پیدا کند. مسأله خیلی ساده است، تمام اعداد زوج را در «مثلث خیام – پاسکال» پاک کنید، آن‌چه باقی می‌ماند برخالی معروف است با نام «مثلث سرپینسکی»:
| |||||
