راه حل اول: وتری مانند AB را در نظر بگیرید که در نقطه ی M بر دایره ی به شعاع و مرکز دایره ی نخست ، مماس باشد.( شکل1 ) از آن جا که AB بر این دایره مماس است ، بر شعاع MC عمود خواهد بود.پس بنا بر قضیه ی فیثاغورث داریم: به طریق مشابه داریم: =AM.پس طول وتر AB برابر است. برای وتر دلخواه EF ،اگر پای عمودی که ازمرکز دایره بر این وتر اخراج می شود،درون دایره ی داخلی بیفتد، آن گاه : طول AB < EF طول و در غیر این صورت : طول AB EF طول . پس این نتیجه گیری به نظر منطقی می آید که احتمال این که طول وتری از بیش تر باشد برابر است با احتمال این که پای عمود آن درون دایره ی داخلی واقع شود.پس احتمال مورد نظربرابر است با: راه حل دوم: همه ی وترهایی را که از نقطه ی A واقع بر دایره می گذرند، در نظر بگیرید.نقطه های B و C را بر دایره طوری بگیرید که .شکل 2 را خواهیم داشت: با توجه به شکل،از آن جا که ABD>،زاویه محاطی روبروی نیم دایره است،قائمه خواهد بود و چون کسینوسBAD>،برابر است،درنتیجه: >.به همین ترتیب > ،پس >ولذا طول کمان BDC برابر محیط دایره است.هر وتری که یک سرش A و سر دیگرش (نقطه ای غیر از B,C )بر کمان BDC واقع باشد،از بزرگ تر است و هر وتری که از A بگذرد وسردیگرش بر کمان BDC نباشد از کوچک تر است.پس احتمال این که طول وتری بیش از باشد،همان احتمال واقع شدن سردیگر وتر در کمان BDC می باشد و این یعنی احتمال مورد نظر برابراست با: راه حل سوم: همه ی وتر هایی را در نظر بگیرید که بر شعاعی از دایره ،چون CDعمود باشند،برای وتری به طول ، نقطه ی E در فاصله ی از C قرار می گیرد(شکل3).حال با توجه به قضیه ی فیثاغورث در مورد مثلث BEC داریم: هر وتر عمود برCD ،اگر به C نزدیک تر باشد تا به D،از بزرگ تر و در غیر این صورت از کوچک تر است.پس منطقی است که نتیجه بگیریم: احتمال این که طول وتری بیش از باشد،برابر است با احتمال این که فاصله ی نقطه ی تقاطع وتر و شعاع عمود بر آن ، بین C وE واقع شود واین یعنی احتمال مورد نظر برابر است با : ما در این جا به یک پارادوکس می رسیم که چون توسط ژوزف برتراند مطرح شده است،به پارادوکس برتراند مشهور است. منبع : جنگ ریاضی دانشجو ، جلد پنجم |