X
تبلیغات
پیکوفایل
رایتل

علم ریاضی

این وبلاگ جهت استفاده علاقمندان به ریاضی ایجاد شده است.
شنبه 9 دی‌ماه سال 1391

پارادوکس برتراند

مساله:وتر، پاره خطی است که نقطه های انتهایش، دو نقطه از دایره باشند.در دایره ای به شعاع1 ,احتمال این که طول وتری بیش از باشد، چقدر است؟

چنین مساله ی ساده ای می تواند بسیار شگفت انگیز باشد، به این علت که می توان چندین راه حل به ظاهر منطقی برای آن ارائه داد که هر یک به پاسخی متفاوت می انجامد.

راه حل اول:
وتری مانند AB را در نظر بگیرید که در نقطه ی M بر دایره ی به شعاع و مرکز دایره ی نخست ، مماس باشد.( شکل1 )

از آن جا که AB بر این دایره مماس است ، بر شعاع MC عمود خواهد بود.پس بنا بر قضیه ی فیثاغورث داریم:

به طریق مشابه داریم: =AM.پس طول وتر AB برابر است.

برای وتر دلخواه EF ،اگر پای عمودی که ازمرکز دایره بر این وتر اخراج می شود،درون دایره ی داخلی بیفتد، آن گاه :

طول AB < EF طول و در غیر این صورت :

طول AB EF طول .

پس این نتیجه گیری به نظر منطقی می آید که احتمال این که طول وتری از بیش تر باشد برابر است با احتمال این که پای عمود آن درون دایره ی داخلی واقع شود.پس احتمال مورد نظربرابر است با:

راه حل دوم:
همه ی وترهایی را که از نقطه ی A واقع بر دایره می گذرند، در نظر بگیرید.نقطه های B و C را بر دایره طوری بگیرید که .شکل 2 را خواهیم داشت:

با توجه به شکل،از آن جا که ABD>،زاویه محاطی روبروی نیم دایره است،قائمه خواهد بود و چون کسینوسBAD>،برابر است،درنتیجه: >.به همین ترتیب > ،پس >ولذا طول کمان BDC برابر محیط دایره است.هر وتری که یک سرش A و سر دیگرش (نقطه ای غیر از B,C )بر کمان BDC واقع باشد،از بزرگ تر است و هر وتری که از A بگذرد وسردیگرش بر کمان BDC نباشد از کوچک تر است.پس احتمال این که طول وتری بیش از باشد،همان احتمال واقع شدن سردیگر وتر در کمان BDC می باشد و این یعنی احتمال مورد نظر برابراست با:

راه حل سوم:
همه ی وتر هایی را در نظر بگیرید که بر شعاعی از دایره ،چون CDعمود باشند،برای وتری به طول ، نقطه ی E در فاصله ی از C قرار می گیرد(شکل3).حال با توجه به قضیه ی فیثاغورث در مورد مثلث BEC داریم:

هر وتر عمود برCD ،اگر به C نزدیک تر باشد تا به D،از بزرگ تر و در غیر این صورت از کوچک تر است.پس منطقی است که نتیجه بگیریم: احتمال این که طول وتری بیش از باشد،برابر است با احتمال این که فاصله ی نقطه ی تقاطع وتر و شعاع عمود بر آن ، بین C وE واقع شود واین یعنی احتمال مورد نظر برابر است با :

ما در این جا به یک پارادوکس می رسیم که چون توسط ژوزف برتراند مطرح شده است،به پارادوکس برتراند مشهور است.

منبع : جنگ ریاضی دانشجو ، جلد پنجم

نظرات (0)
نام :
ایمیل : [پنهان می ماند]
وب/وبلاگ :
برای نمایش آواتار خود در این وبلاگ در سایت Gravatar.com ثبت نام کنید. (راهنما)