ریاضیات یا مزداهیک (Mathematics) را معمولاً دانش بررسی کمیت‌ها و ساختارها و فضا و دگرگونی تعریف می‌کنند. دیدگاه دیگری ریاضی را دانشی می‌داند که در آن با استدلال منطقی از اصول و تعریف‌ها به نتایج دقیق و جدیدی می‌رسیم، دیدگاه‌های دیگری نیز در فلسفه ریاضیات بیان شده‌است.
ریاضیات خود یکی از علوم طبیعی به‌شمار نمی‌رود، ولی ساختارهای ویژه‌ای که ریاضیدانان می‌پژوهند بیشتر از دانش‌های طبیعی به ویژه فیزیک سرچشمه می‌گیرند و در فضایی جدا از طبیعت و محض‌گونه گسترش پیدا میکند به طوری که علوم طبیعی برای حل مسائل خود به ریاضی باز می‌گردند تا جوابشان را با آن مقایسه و بررسی کنند.
علوم طبیعی، مهندسی و اقتصاد، بسیار به ریاضیات تکیه دارند آن بخش از ریاضیات را که علوم کاربردی به آن بیشتر می‌پردازند، ریاضیات کاربردی می‌نامند. ولی گاه ریاضیدانان به دلایل صرفاً ریاضی و نه کاربردی به تعریف و بررسی برخی ساختارها می‌پردازند که به آن ریاضیات محض گفته میشود.
فلسفه ریاضیات، شاخه‌ای از فلسفه است که به بنیادهای وجودی ریاضیات و مباحث مربوط به معرفت‌شناسی ریاضیات می‌پردازد. از جمله پرسش‌هایی که فلسفه ریاضی، کوشش در پاسخ به آن دارد این‌ها است:
در آغاز قرن بیستم سه مکتب فلسفه ریاضی برای پاسخ‌گوئی به این‌گونه پرسش‌ها به وجود آمد. این سه مکتب به نام‌های شهودگرایی و منطق‌گرایی و صورت‌گرایی معروف‌اند.
یکی از ریاضیدانان قرن سیزدهم میلادی در اروپا لئونارد بوناکسی( 1170-1220 م. ) ریاضیدان ایتالیایی است. وی که مدتها در مشرق زمین اقامت کرده بود، آثار برخی از دانشمندان اسلامی را از آنجا به ارمغان آورد. وی برای اولین بار در اروپا علم جبر را در هندسه مورد استفاده قرار داد. در قرن پانزدهم و در قرن شانزدهم دانشمندان ایتالیایی ها در حساب عدد ، جبر و مکانیک ترقیات شایان کردند.
در اواخر قرن شانزدهم در فرانسه دانشمندی به نام فرانسوااویت ( 1540-1603م.) به پیشرفت علوم ریاضی خدمات ارزنده ای نمود.مثلثات جدید نیز حاصل زحمات اوست. او نخستین ریاضیدانی بود که برای حل مسئله ترسیم دایره ای مماس بر سه دایره دیگر راه حل هندسی بدست آورد و ریشه های معادله درجه چهارم را ساخت.
ریاضیـدانان کشـور هلنـد نیز در پیشـرفت و رشد دانش ریاضی بسیـار مؤثر بودند.آدرین رومن و سپس آدرین متیوس مقدار تقریبی عدد پی را محاسبه کردند و یکی دیگر از هموطنان آنان به نام وان سولن تا 35 رقم اعشاری آن را بدست آورد.
کشف لگاریتم یکی از پیشرفتهای بسیار مهم در تاریخ علم ریاضیات است. کاشف آن جان نپر یا ناپیه ( 1556-1317 م. ) ریاضیدان معروف اسکاتلندی است. یکی از آثار او کتاب معروف لگاریتمی است که در سال 1614 م. تألیف کرد.
موریس کلاین: "ریاضیات عالی‌ترین دستاورد فکری و اصیل‌ترین ابداع ذهن آدمی است.
در نیمکره شمالی که خانه خدا واقع شده است وقتی هر ذره یا جسمی خلاف جهت عقربه های ساعت بچرخد 5 نیرو به آن وارد می شود
که جمع این نیروها و انرژی ها به سمت داخل است.
در بحث طواف هم همین است، ذرات در اینجا انسان ها هستند و مجموع این نیروها نیز به سم... بیشتردر نیمکره شمالی که خانه خدا واقع شده است وقتی هر ذره یا جسمی خلاف جهت عقربه های ساعت بچرخد 5 نیرو به آن وارد می شود
که جمع این نیروها و انرژی ها به سمت داخل است.
در بحث طواف هم همین است، ذرات در اینجا انسان ها هستند و مجموع این نیروها نیز به سمت مرکز که همان خانه خداست هدایت می شود.
قضیه ی فشردگی حدود:
اگر 
آن گاه : 
.(این قضیه برای حدهای یک طرفه و بی نهایت هم برقرار است.)
مثال: 
را بیابید.
با توجه به شکل زیر و استفاده از قضیه ی فشردگی ، نتیجه می شود که حد راست برابر 0 است.برای بررسی حد چپ،کافی است نیمه ی دیگر نمودار تابع را در نظر بگیریم که مشابها" نتیجه می شود که حد چپ نیز برابر 0 است و لذا حد مذکور برابر 0 است .
تمرین :حدود زیر را بیابید .(x عددی حقیقی و [y]معرف جز صحیح y است .)
برگرفته شده ازسایت دوست بزرگوارم استاد دادمنش
چه جمعه ها که یک به یک غروب شد نیامدی
چه بغضها که در گلو رسوب شد نیامدی
چشم تا وا میکنی چشم و چراغش میشوی
مثل گل میخندی و شب بوی باغش میشوی
شکل «عبدالله» ی و تسکین داغش میشوی
غصه اش را محو در چشم سیاهت میکند
خوش به حال «آمنه» وقتی نگاهت میکند
خانه را با عطر زلفت تا معطر میکنی
دایه ها را هم ز مادر مهربان تر میکنی
گشت ساغر تا به دستان بنی هاشم رسید
وقت تقسیم محبت شد «ابولقاسم» رسید
میلاد پیامبر مهر و رحمت بر تمامی دوست داران آن حضرت مبارک باد
فرا رسیدن ماه ربیع الاول و ایام با سعادت میلاد آخرین پیام آور الهی، پیامبر رحمت، حضرت محمد مصطفی (ص) مبارک
رسول گرامی اسلام صلوات الله علیه و آله فرمودند:
هرکس بشارت ماه ربیع الاول را به من بدهد من هم بشارت بهشت را به او می دهم .
حلول ماه ربیع الاول بر همه مسلمین جهان مبارک باد
فضاهای باناخ به فضاهای برداری نرم‌دار کامل گفته میشود. ;کامل بودن یعنی هر دنباله کشی در این فضا همگرا باشد .
فضای هاسدورف در توپولوژی، فضایی است که در آن بتوان نقاط را با همسایگی جدا کرد.
فرض کنید X یک فضای توپولوژی است، x و y دو نقطه در X هستند. می‌گوییم x و y توسط همسایگی هایی از هم
جدا شده‌اند اگر همسایگی مانند U از x و همسایگی مانند V از y موجود باشند به طوریکه این دو همسایگی هیچ
اشتراکی نداشته باشند. فضای X هاسدورف است اگر بتوان هر دو نقطه در X را توسط همسایگی‌هایی از هم
جدا کرد. فضاهای هاسدورف، فضاهای T۲ نیز نامیده می‌شوند
توپولوژی چیست؟
توپولوژی
توپولوژی شاخه‌ای از ریاضیات است که به بررسی فضاهای توپولوژیک می‌پردازد.
تعریف:مجموعه X به همراه گردایه T از زیرمجموعه‌های X را یک فضای توپولوژیکی گویند هر گاه:
مجموعه تهی و X عضو T باشند.
اجتماع هر گردایه از مجموعه‌های عضو T در T قرار دارد.
اشتراک هر دو مجموعه عضو T در T قرار دارد.
مجموعه T را یک توپولوژی روی X می‌گوییم. همچنین اعضای T مجموعه‌های باز در X و متتم آنها مجموعه‌های بسته در X هستند.
اعضای X را نقاط می‌‌نامیم.
ارتباط بین دو فضای توپولوژیک
روی یک مجموعه مانند X توپولوژیهای متعددی می‌توان تعریف کرد (حداقل دو توپولوژی گسسته و ناگسسته را می‌توانیم روی X تعریف کنیم). حال فرض کنید T1 و T2 دو توپولوژی روی X هستند. اگر هر عضو T1، عضوی از T2 نیز باشد آنگاه می‌گوییم T2 ظریفتر از T1 است. در این صورت اثباتی که برای وجود یک مجموعه باز معین ارائه می‌‌دهیم در مورد توپولوژی ظریفتر هم برقرار است
مثال: اگر برای دو عدد طبیعی a و b داشته باشیم:
آنگاه a و b را بیابید.
پاسخ: بر طبق نتیجه فوق می دانیم اعداد متباین نسبت به هم 
وجود دارند که:
و 
پس:
چون: 
بنابراین: 
اصل استقرای قوی ریاضی:
صورتی دیگر از اصل استقرای ریاضی به شکل زیر مطرح می شود، که به اصل استقرای قوی ریاضی موسوم است. این اصل با اصل استقرای ریاضی و در نتیجه با اصل خوش ترتیبی معادل است.
![[تصویر: Mientras-tanto-en-una-escuela-rusa.gif]](http://hamsokhan.persiangig.com/Mientras-tanto-en-una-escuela-rusa.gif)