علم ریاضی
این وبلاگ جهت استفاده علاقمندان به ریاضی ایجاد شده است.علم ریاضی
این وبلاگ جهت استفاده علاقمندان به ریاضی ایجاد شده است.
معادله سیاله
معادله سیاله یا معادلهٔ دیوفانتی در ریاضیات معادله‌ای چند جمله‌ای با متغیرهای صحیح است که در آن بیش از یک متغیر (مجهول) داشته باشیم. دستگاه معادلات دیوفانتی دستگاهی از معادلات چند مجهولی است که در آن تعداد مجهول‌ها از تعداد معادله‌ها بیشتر باشد.
مثلاً معادله‌ی x + y = 2 را می توان به صورت y = 2 − x نوشت. به ازای هر x یک مقدار برای y به دست می‌آید. این جوابها را می توان با زوج (x,2 − x) نشان داد. گر چه همین معادله، در مجموعه اعداد صحیح باز جوابهای بیشمار دارد، اما این بار در زوج (x,2 − x) باید به جای x اعداد صحیح قرار دهیم (از این نظر نسبت به حالت اوّل جوابها محدودتر هستند) و سرانجام اگر همین معادله را در اعداد طبیعی حل کنیم، معادله جواب کاملاً محدود و مشخصی پیدا می کند که در اینجا تنها جواب معادله ی x + y = 2 در اعداد طبیعی (1و1) است.
در اینجا حل معادله های دیوفانتی در مجموعه‌ی اعداد صحیح مورد نظر ماست و از این رو اگر در حالت کلی داشته باشیم ax + by = c که در آن a و b و c اعداد صحیح و a و b نسبت به هم اوّل هستند، آنگاه ریشه های این معادله در مجموعه اعداد صحیح به صورت زیر نوشته می شود.
y0 = y + ak و x0 = x − xk
که در آن (x0,y0) هر ریشه دلخواه معادله و (k عضو Zاست).
مثلاً یکی از ریشه های معادله x + 2y = 5 عبارت است از (2و1) پس زوج (1 − 2k,2 + k) در ازای هر k که k عضو اعداد صحیح است، یک جواب از این معادله به دست می آید. ممکن است معادله دیوفانتی از درجات بالاتر باشد، در این صورت هم امکان دارد معادله جوابهای بیشمار یا متناهی داشته باشد.
مثال:معادله 3x + 4y = 25 را در مجموعه اعداد صحیح حل کنید.
حل:معادله را به صورت زیر می نویسیم:
3x = 25 − 4y x = (25 − 4y) / 3 = 8 + (1 − 4y) / 3
چون x عدد صحیح است، بنابراین 8 + (1 − 4y) / 3 باید عدد صحیح باشد، دیده می شود که به ازای y=+1 داریم x=8-1=7 پس (7,1) یکی از ریشه های معادله است و ریشه های دیگر معادله از زوج (x0 − bk,y0 + bk) محاسبه می شود که در آن k عضو اعداد صحیح است . پس سایر جوابهای معادله عبارتند از (7 − 4k,1 + 3k) مثلاً بعضی از ریشه های آن عبارتند از:
k=1 بنابراین (4و3)
k=2 بنابراین (2-و11)
