X
تبلیغات
رایتل

علم ریاضی

این وبلاگ جهت استفاده علاقمندان به ریاضی ایجاد شده است.
جمعه 6 بهمن‌ماه سال 1391

اصل استقرای قوی ریاضی:

اصل استقرای قوی ریاضی:
صورتی دیگر از اصل استقرای ریاضی به شکل زیر مطرح می شود، که به اصل استقرای قوی ریاضی موسوم است. این اصل با اصل استقرای ریاضی و در نتیجه با اصل خوش ترتیبی معادل است.

اصل استقرای قوی ریاضی:
اگر S زیرمجموعه ای از اعداد طبیعی باشد، به طوری که:
1- عدد یک عضوی از مجموعه S باشد.
2- اگر اعداد طبیعی کوچکتر از n در مجموعه S باشند، آنگاه n نیز عضو S باشد
در این صورت هر عدد طبیعی عضوی از S است و به عبارت دیگر S همان مجموعه اعداد طبیعی است.


  • لازم به تذکر است در ریاضیات برای اثبات احکام طبیعی بیشتر از اصل استقرای قوی ریاضی استفاده میشود.

روش اثبات احکام بوسیله اصل استقرای قوی ریاضی:

مراحل اثبات به کمک اصل استقرای قوی ریاضی به این صورت است:
1- درستی حکم را برای n=1 بررسی می کنیم.
2- نشان می دهیم که اگر حکم داده شده به ازا هر عدد طبیعی k که (k<n) برقرار باشد، نگاه برای n نیز درست است.


با یک مثال روش اثبات را بررسی می کنیم:

دنباله به دنباله لوکا معروف است که در بین جملات آن رابطه بازگشتی زیر برقرار است:


با استفاده از اصل استقرای قوی ریاضی نشان می دهیم که برای هر عدد طبیعی n را بطه زیر برقرار است:


پاسخ: اگر


آنگاه 1و2 عضوی از S می باشند زیرا نامساویهای:


درست می باشند.(مرحله مبنا)
حال فرض میکنیم (فرض استقرا) و به ازای هر عدد طبیعی k که k، k<n در مجموعه S قرار دارد. بنابراین:


لذا چون پس:



و از طرفی دیگر:


و لــذا:


یعنی n نیز در مجموعه S قرار دارد، پس مجموعه S همان مجموعه اعداد طبیعی است. و لذا برای هر عدد طبیعی n حکم برقرار است.


  • لازم به توضیح است که از این اصل هم می توان برای اثبات برخی قضایای هندسه استفاده کرد و در ضمن می توان احکامی طبیعی که از یک هم آغاز نمی شوند را به این وسیله اثبات نمود.
نظرات (0)
نام :
ایمیل : [پنهان می ماند]
وب/وبلاگ :
برای نمایش آواتار خود در این وبلاگ در سایت Gravatar.com ثبت نام کنید. (راهنما)