بی نهایت

فر حدّی وصفرمطلق: به نظر شما حاصل فرق بین این واژه ها چیست؟  حاصل چطور؟ ممکن است پاسخ شما بی نهایت، تعریف نشده ، نامعین یا مبهم باشد.

برای پاسخ دادن به این سؤوالات به مفاهیم زیر توجه کنید:

الف. صفرمطلق : همان عدد صفر که مبدا محور اعداد حقیقی است ، صفرمطلق نام دارد.

ب. صفر حدّی : عددی بسیار کوچک مثبت ونزدیک صفر ویاعدد بسیار بزرگ منفی ونزدیک صفر، صفرحدّی نامیده می شوند و

به ترتیب بانمادهای و نمایش داده می شوند.

به عبارت دیگر وقتی        ،آنگاه x  به صفر بسیار نزدیک بوده ولی هرگز برابر صفرنمی شود، به مقادیرx دراین

حالت ، صفرحدّی می نامیم.

تذکّر : به طور کلی به عدد حقیقی a باطول جبری a که روی محور اعداد حقیقی قرار دارد " a  ی مطلق " وبه عدد

" a  ی حدّی " گفته می شود،که درآن  عدد بسیار کوچک مثبت است.

مفاهیم : تعریف نشده ، بی نهایت و مبهم

درمحاسبه حدّ یک تابع مانند f معمولا یکی از دو حالت زیر اتفاق می افتد:

حالت اوّل : حدّ تابع f  به کمک قضایای حدّ وبا جایگذاری محاسبه می شود، که درمباحث حدّ کاملا توضیح داده می شود.

حالت دوم : حدّ تابع f معمولا منجر به یکی از مفاهیم " تعریف نشده  ویا مبهم " می شود که به توضیح این حالت می پردازیم .

الف. تعریف نشده ها:

درعلم ریاضی (والبته درتمامی علوم) برخی ازمفاهیم را نمی توان تعریف کرد.زیرا تعریف همه ی این مفاهیم منجر به دور یا

تسلسل و یالطمه زدن به اصول اولیه ی این علم می شود.

به عنوان مثال ، مجموعه یکی از مفاهیم تعریف نشده درریاضی است.ممکن است بگوییم :مجموعه را می توان گروهی از اشیا

مشخص و دوبدو متمایز تعریف کرد.درپاسخ باید گفت که گروه چیست؟ اگر تعریف گروه همان دسته ای ازاشیا مشخص و دوبدو

است. آنگاه می توان پرسید دسته چیست؟ بنابراین مادو راه داریم، یا باید بی نهایت واژه ی مترادف بامجموعه راپیدا کردو هریک

رابا دیگری توضیح دادکه دراین صورت مرتکب تسلسل شده ایم و چون این عمل پایان پذیر نیست، لذا هنوز تعریفی از مجموعه را ارائه نکردیم ویا باید دوباره به واژه مجموعه برگردیم که دراین صورت مرتکب دور شدیم.

گفتیم گاهی مواقع تعریف کردن بعضی ازمفاهیم ، موجب لطمه خوردن اصول اولیه می شود.مثلا اگرفرض کنیم    1   =  ،چه

اتفاقی می افتد؟ ظاهرا منطقی به نظر می رسد مانند هرعدد  دیگر ، صفر تقسیم بر صفر را نیز برابر یک بگیریم. امّا باهمین

فرض می توان نشان داد همه ی اعداد حقیقی باهم برابرند.

مثلا بااین فرض ، نشان  می دهیم که : 2=1000

با این مقدمه عبارات زیر را که درحدّ توابع ممکن است پیش آیند ، تعریف نشده نیستند:

ب . بی نهایت :

اگر متغیر x  روی محور x  ها مرتب افزایش یابد به گونه ای که از هر عددمثبتی بزرگتر شود ،گوییم متغیر x  به بی نهایت مثبت

میل کرده است.و می نویسیم:  . وهمچنین اگر متغیر x  روی محور x  ها مرتب کاهش یابد به گونه ای که از هرعدد

منفی کوچکتر باشد، گوییم متغیر x  به بی نهایت منفی میل کرده است و می نویسیم: .

باید توجه داشت که  عدد حقیقی نیستند بلکه مفهوم حدّی هستند که ازهرعدد مثبتی ( منفی ای ) بزرگتر(کوچکتر)

می باشد.چون  عدد حقیقی نیستند لذا جمع ، تفریق ، ضرب و تقسیم بین دو بی نهایت ویا بین یک بی نهایت و یک

عدد مانند اعمال بین دوعدد حقیقی تعریف نمی شود و به صورت حدّی با آنها برخورد می شود.