مفهوم گزاره و پارادوکس در ریاضی

ج) هوای تهران بارانی است.

د) دمای هوای امروز 20 درجه بالای صفر است.

بدیهی است که گزاره‌ی (الف) دروغ است ، گزاره‌ی (ب) درست است. ارزش گزاره (ج) بستگی به وضع هوا در زمانی که گزاره گفته می‌شود دارد و در گزاره‌ی (د) درستی یا نادرستی گزاره بر ما معلوم نیست زیرا در این گزاره مکان مشخص نشده است و همزمان ممکن است در نقطه‌ای از کره‌ی زمین دمای هوا 20 درجه بالای صفر باشد و در نقطه‌ای دیگر این طور نباشد ولی در هر صورت (د) یک گزاره است.

مثال2: هیچ کدام از این عبارات گزاره نیستند ، زیرا این سوال که آن‌ها راست هستند یا دروغ مفهومی ندارد.

الف) حال شما چطور است؟

ب) سلام آقا.

ج) مهمانی زیبا

گزاره‌هایی که در مثال (1) بیان شدند همگی گزاره‌های ساده‌ای هستند. ترکیبی از چند گزاره‌ی ساده را یک گزاره‌ی مرکب می‌نامیم.

مثال: 5=1+2 و شیراز شهری در استان فارس است ، یک گزاره‌ی مرکب است.

برای نشان دادن گزاره‌ها از حروف انگلیسی نظیر p ، q ، r و ... استفاده می‌کنیم. حال که مفهوم گزاره را فهمیدیم ، مفهوم دیگری را با یک مثال بیان می‌کنیم.

مثال: خواهر و برادری با هم صحبت می‌کنند ، خواهر به برادرش می‌گوید: «من دروغگو هستم». ارزش این عبارت را تعیین کنید.

فرض می‌کنیم ارزش عبارت «من دروغگو هستم» درست باشد در این صورت خواهر برای یک بار هم شده راست می‌گوید پس تناقض ایجاد می‌شود و درست بودن عبارت رد می‌شود.

حال فرض می‌کنیم عبارت «من دروغگو هستم» نادرست باشد ، در این صورت خواهر دروغگو نیست و تناقض ایجاد می‌شود زیرا این بار دروغ گفته است. پس نادرست بودن این عبارت هم رد می‌شود.

حال عبارتی داریم که اثبات کردیم نه درست است نه نادرست (یا به عبارتی هم درست است و هم نادرست).

به چنین مفاهیمی پارادوکس (Paradox) می‌گویند. پارادوکس یعنی تناقض. یکی از معروف‌ترین پارادوکس‌ها ، پارادوکس راسل می‌باشد که در نظریه‌ی مجموعه‌ها پدید آمده است.

از دیگر پارادوکس‌های معروف می‌توان به پارادوکس کانتور و پارادوکس بورالی-فورتی اشاره کرد.

داستان واقعی زیر اهمیت و جذابیت پارادوکس در زندگی واقعی را نشان می‌دهد.

«از میان بزرگ‌ترین آموزگاران دوران باستان می‌توان پروتاگورس را نام برد که در 1170 پیش از هجرت به دنیا آمده است. او کتاب‌های گوناگونی نوشت و به موضوعات بسیاری از جمله راه و رسم مباحثه و کاربرد درست گفتار اندیشید.»

پروتاگورس در جوانی باربری می‌کرد ، با علاقه‌ای که به دانش داشت خواندن و نوشتن را آموخت و به سفر پرداخت. می‌گویند پروتاگورس نخستین آموزگاری بود که در ازای تدریس پول دریافت کرد و حتی یک بار در ازای درس دادن به شاگردی معادل دویست و پنجاه هزار تومان پول گرفت.

روزی دانش پژوهی به نام اوالقوس که درباره‌ی این آموزگار پرآوازه سخن‌ها شنیده بود به سراغش آمد و از وی درخواست کرد تا به او درس بیاموزد. اوالقوس نمی‌خواست پول تحصیل را یک‌جا بپردازد و پس از مدتی بحث و جدل سرانجام به توافق رسیدند که تنها در صورتی ملزم به پرداخت پول باشد که در نخستین دفاعیه‌ی خود در دادگاه پیروز شود زیرا موفقیت او ملاک آن بود که تدریس به خوبی انجام شده است.

درس‌ها آغاز شد و اوالقوس اثبات کرد که شاگردی تیزهوش است. او به سختی کار کرد و زمانی فرا رسید که مطالعاتش پایان یافت. پس از اتمام دروس ، اوالقوس از پرداخت پول سرباز زد و در نتیجه پروتاگورس او را به دادگاه کشاند و به دادرس گفت که طالب حق خویش است و شرح داد که در هر صورت چه برنده‌ی محاکمه شود و چه بازنده باید پولش را از این شاگرد نمک نشناس دریافت کند.

او گفت: «شما هر تصمیمی که بگیرد پول از آن من می‌خواهد بود زیرا اگر به نفع من رای دهید در آن صورت من برنده‌ی دعوا می‌شوم و پولم را می‌گیرم و اگر به زیان من رای دهید ، اوالقوس در نخستین دفاعیه‌ی خود در دادگاه پیروز گردیده است و بر اساس توافق ما باید پول مرا بپردازد. پس در هر حال پول از آن من است».

دادرسان ، پس از بررسی این ادعا ، هیچ نقصی در آن نیافت ولی از اوالقوس نیز خواستند تا اگر دفاعی دارد عنوان کند.

اوالقوس گفت: « کاملا واضح است که من نباید پولی بپردازم زیرا اگر دادرسان محترم ، به نفع من رای دهند ، من دفاعیه را می‌برم و نیازی به پرداخت پول نخواهم داشت ، به عکس اگر پروتاگورس برنده شود من نخستین دفاعیه‌ی خود را در دادگاه می‌بازم و بر اساس موافقت به عمل آمده دیگر لازم نیست پولی به او بپردازم. پس در هر حال ملزم به پرداخت پول نخواهم بود».

از آنجا که هر دو مباحثه در ظاهر بی‌نقص به نظر می‌رسید ، دادرسان نتوانستند تصمیمی اتخاذ کنند ، در نتیجه به هر دو مرد دستور دادند که بروند و صد سال بعد مراجعه کنند!

منبع: نظریه‌ی مجموعه‌ها و کاربردهای آن - ترجمه‌ی: عمید رسولیان