نظریه مجموعه ها

آموزش مجموعه ها- نظریه مجموعه ها

« مجموعه چیست ؟ » یا « به چه چیزی مجموعه گفته می شود ؟ »

این ها اولین سوالاتی هستند که درباره ی مجموعه ها مطرح می شوند. ساده ترین پاسخی که به این گونه سوالات داده می شود، این است : « مجموعه گردایه ای از اشیاء است. » مثلا ً مجموعه ی کتاب های یک قفسه یا مجموعه ی پرتقال های موجود در یک جعبه میوه و ...

اما اگر کمی کنجکاو باشیم، می توانیم این سوال را مطرح کنیم که:« گردایه چیست؟ » . « گردایه، انبوهی از چیزهاست. » و ...

اگر همچنان به کنجکاوی خود ادامه دهیم، در پاسخ به این قبیل سوالات، تعدادی از کلمات ِ هم معنی با مجموعه ردیف خواهد شد و پس از چند کلمه، به جایی می رسیم که مجبور خواهیم شد دوباره از کلمه ی مجموعه استفاده کنیم. به این ترتیب به تعریفی دوری برای مجموعه خواهیم رسید که از لحاظ منطقی بی ارزش خواهد بود. چاره چیست ؟

در چنین مواردی ، نیاز به مفاهیم اولیه ای است که آن ها را بدون تعریف می پذیریم، با این فرض که برداشت های افراد از این مفاهیم ، به قدر کافی به یکدیگر شبیه است و هیچ ابهامی در فهم آن ها وجود ندارد. گاهی نیز برای رفع ابهام و مشخص تر کردن منظور، تعریفی صوری برای این مفاهیم می آورند.

ما مجموعه را جزء مفاهیم اولیه می دانیم و تعریفی برای آن ارائه نمی دهیم. اما ریاضی دان نامی، کانتور، تعریف زیر را برای مجموعه ارائه کرده است :

کانتور می گوید : « مجموعه گردایه ای از اشیاء متمایز در شعور ماست که به این اشیای ِ مجزا، اعضای مجموعه می گوییم. »

« مجموعه ی تهی » مجموعه ای که هیچ عضوی ندارد، را با نماد {} یا نمایش می دهند. مجموعه ی ناتهی را به دو روش زیر بین دو کمانک «{» و «}» نمایش می دهند :

1. مجموعه را با نوشتن اعضای تمام اعضایش نمایش می دهیم و برای جدا کردن اعضا از کاما یا ویرگول استفاده می کنیم. مانند :

2. مجموعه ی اشیایی که در یک خاصیت معین صدق می کنند. مثلا ً مجموعه ی اعداد طبیعی فرد را به صورت زیر نمایش می دهیم.

{x عددی فرد است | x عددی طبیعی است }

به طور کلی اگر یک خاصیت درباره ی x باشد ، مجموعه ی تمام xهایی که دارای خاصیت هستند را با نماد نمایش می دهیم.در اصول موضوعه ی مجموعه ها، این موضوع با اندکی تغییر، به « اصل تصریح » مشهور است.

نام گذاری مجموعه ها :

مجموعه ها را با حروف بزرگ انگلیسی نام گذاری می کنند. البته برای مجموعه های مهم مانند مجموعه ی اعداد طبیعی، حسابی، گویا، حقیقی و مختلط از حروف خاصی استفاده می شود که به ترتیب عبارتند از : ، W ، ، ، و که به زودی آنها را معرفی خواهیم کرد.

نام گذاری و نمایش اعضای مجموعه ها :

مرسوم است که اعضای یک مجموعه را با حروف کوچک انگلیسی نام گذاری می کنند. برای نمایش دادن مفهوم عضویت در مجموعه ها از نمادی با همین نام استفاده می شود. « نماد عضویت » ، « » با دو پارامتر در دو طرف آن بکار می رود. آنکه در سمت چپ ِ نماد قرار می گیرد، عضوی از طرف راست آن است. پس به این ترتیب، اگر A یک مجموعه و x عضوی از آن باشد، به صورت « » نوشته می شود که « x عضوی از A است »‌ یا « x در A است » خوانده می شود.

اگر برای دو مجموعه ی A و B بنویسیم « » به این مفهوم است که مجموعه ی B ، مجموعه ی A را به عنوان یک عضو داراست.

همچنین برای آنکه بخواهیم بگوییم « عضوی در مجموعه ای نیست » از نماد « عدم عضویت» ، « » مانند نماد عضویت استفاده می کنیم. پس در مثال قبل می توانیم بنویسیم « » که خوانده می شود « A در B نیست » یا « A عضوی از B نیست. » .

با این نمادها می توانیم مجموعه های اعداد طبیعی، حسابی، صحیح، گویا، گنگ، حقیقی و مختلط را به صورت نمادی نمایش دهیم. منظور ما از این مجموعه ها به قرار زیر است :

مجموعه ی اعداد طبیعی ( ) : .

هر گاه بخواهیم بگوییم که اعداد یا نماد ها به ترتیب خاصی که از قبل شروع شده است، ادامه می یابند از نماد « » استفاده می کنیم.

مجموعه ی اعداد حسابی ( W ) : .

مجموعه ی اعداد صحیح ( ) : .

مجموعه ی اعداد گویا ( ) : .

مجموعه ی اعداد حقیقی ( ) : مجموعه ای که شامل تمام اعداد گویا و گنگ می باشد.

اعداد گنگ :اعدادی هستند که نمی توانیم آنها را به صورت عدد گویا نمایش دهیم مانند ، و ...

تساوی دو مجموعه :

دو مجموعه ی A و B را مساوی گوییم هرگاه اعضای همانند داشته باشند. دو مجموعه ی مساوی را با گذاشتن نماد تساوی « = » بین آنها نمایش می دهیم.

اگر دو مجموعه ی A و B با هم برابر نباشند، آن ها را دو « مجموعه ی مجزا » گوییم و با

نماد « » نمایش می دهیم

زیر مجموعه

اگر تمام اعضای مجموعه ی مفروض A ، در مجموعه ی مفروض B نیز باشند، گوییم A زیر مجموعه ی B است. برای نمایش دادن این مفهوم از نماد « زیر مجموعه » یعنی « » با دو پارامتر در دو سمت آن به این ترتیب استفاده می کنیم که مجموعه ی سمت چپ ِ نماد، زیرمجموعه ی مجموعه ی سمت راست است. پس عبارت « » به صورت « A زیر مجموعه ی B است » تلقی می شود.

نکته 1 : اگر« » و « » ، یعنی اگر هر عضو A در B وهر عضو B در A باشد، آنگاه A و B برابر خواهد بود یعنی A=B . در ریاضیات معمولا ً برای آنکه نشان دهند دو مجموعه با هم برابرند، نشان می دهند که هرکدام زیر مجموعه ی دیگری است.

با استفاده از سورها ، را به صورت زیر تعریف می کنیم :

اگر و ، در این صورت A را « زیر مجموعه ی سره » ی B می نامیم و با نماد « » نمایش می دهیم.

A زیر مجموعه ی سره ی B است به این مفهوم است که علاوه بر تمام اعضای A ، حداقل یک عضو دیگر در B وجود دارد که این عضو در A نیست. مثلا ً

اگر و در این صورت A زیر مجموعه ی سره ی B است زیرا B علاوه بر 1و2، عضو 3 را نیز دارد.

اگر ، در این صورت B را « ابر مجموعه » ی A می نامیم و اگر ، B را « ابر مجموعه ی سره » ی A می نامیم.

اجتماع مجموعه ها :

اگر A و B دو مجموعه ی دلخواه باشند، منظور از اجتماع A و B ، مجموعه ای است که تمام اعضای A وتمام اعضای B را داشته باشد و هیچ عضو اضافه ی دیگری نداشته باشد.

اجتماع مجموعه ها را با نماد « اجتماع » یعنی « » نمایش می دهند. پس نماد « » ، « اجتماع A و B » یا « A اجتماع B » خوانده می شود.

نمایش سوری « » به شکل زیر است :

نمودارهای ون :

معمولا ً برای درک بهتر اعمال مجموعه ها، از نمودار هایی موسوم به « نمودارهای ون » استفاده می شود. در« نمودارهای ون » مجموعه ها را با اشکال هندسی در صفحه ، معمولا ً دایره ، نمایش می دهند.

نمودار ون زیر اجتماع A و B را نمایش می دهد. تمام قسمت های آبی رنگ است.

نمودار ون اجتماع دو مجموعه

اجتماع مجموعه ها را می توان برای چندین مجموعه نیز تعریف کرد . اگر ، مجموعه های دلخواه باشند، اجتماع آن ها را با نماد نمایش داده و به صورت زیر تعریف می کنیم :

اشتراک مجموعه ها :

اگر A و B دو مجموعه باشند، منظور از اشتراک A و B ، مجموعه ایست شامل آن عضوهایی که هم در A و هم در B باشند و به جز این عضوها، عضو دیگری نداشته باشد.اشتراک مجموعه ها را با نماد « اشتراک » یعنی « » نمایش می دهند. پس نماد « » ، « اشتراک A و B » یا « A اشتراک B » خوانده می شود.

با استفاده از سورها اشتراک A و B به صورت زیر تعریف می شود :

نمودار ون زیر، قسمت قرمز رنگ، اشتراک دو مجموعه ی A و B را نمایش می دهد .

نمودار ون اشتراک دو مجموعه

گسترش ( تعمیم ) اشتراک مجموعه ها :

اگر ، مجموعه های دلخواه باشند، اشتراک آن ها را با نماد نمایش داده و به صورت زیر تعریف می کنیم :

مجموعه های جدا از هم :

اگر دو مجموعه ی A و B هیچ عضو مشترکی نداشته باشند، آن ها را « جدا ازهم » گوییم. یعنی اشتراک دو مجموعه ی جداازهم تهی می باشد.

تفاضل مجموعه ها :

برای دو مجموعه ی A و B ، منظور از تفاضل A از B‌ ، مجموعه ایست شامل آن عضوها از B که در A نیستند و جز آن ها عضو دیگری ندارد.

« تفاضل A از B » را با نماد « » نمایش می دهند و « متمم A نسبت به B » نیز نامیده می شود.

در زبان سورها، تفاضل A از B به صورت زیر تعریف می شود :

نمودارهای ون « تفاضل A از B‌ » را این گونه نمایش می دهد( قسمت قرمزرنگ ):

نمودار ون تفاضل A از B

متمم یک مجموعه :

معمولا ً در هر مبحثی از ریاضیات، از مجموعه ای به عنوان مجموعه ی مرجع یاد می کنند. مجموعه ی مرجع، مجموعه ی اصلی در بحث مورد نظر است و تمام مجموعه های دیگر به عنوان زیرمجموعه ای از آن در نظر گرفته می شوند. مثلا ً اگر در مورد اعداد صحبت کنیم ، می توانیم مجموعه ی اعداد طبیعی را مجموعه ی مرجع در نظر بگیریم و در بحث توابع مختلط ، مجموعه ی اعداد مختلط مجموعه ی مرجع خواهد بود.به طور کلی مجموعه ی مرجع را با حرف انگلیسی U نمایش می دهند.

متمم یک مجموعه، با تعریف مجموعه ی مرجع معنا پیدا می کند. اگر A یک زیر مجموعه از مجموعه ی مرجع U باشد، متمم A در U را با نماد « » یا « » نمایش می دهند و شامل آن عضو ها از مجموعه ی مرجع است که در A نباشند. به عبارت ساده تر اگر از مجموعه ی مرجع، اعضای مجموعه ی A را برداریم ، آنچه باقی می ماند را « » می نامیم.

به زبان سورها متمم A به صورت زیر تعریف می شود :

در نمودار های ون، مرسوم است که مجموعه ی مرجع را با مستطیل نمایش می دهند. در نمودار ون زیر قسمت قرمز رنگ متمم A را نمایش می دهد.

نمودار ون متمم A

تفاضل متقارن :

برای تفاضل متقارن دو مجموعه ی A و B سه تعریف وجود دارد که در زیر آمده است. اثبات اینکه این تعریف ها معادل اند در بخش قضیه ها آمده است. تفاضل متقارن A و B را با نماد « » نمایش می دهیم.

تعریف 1 تفاضل متقارن : برای دو مجموعه ی A و B ، تفاضل متقارن A و B را به صورت اجتماع ِ تفاضل A از B و تفاضل B از A تعریف می کنیم. پس :

تعریف 2 تفاضل متقارن : اگر A و B دو مجموعه باشند، « » برابر با تفاضل اشتراک A و B از اجتماع A و B . یعنی :

تعریف 3 تفاضل متقارن : اگر A و B دو مجموعه باشند، « » مجموعه ی آن عضوهایی از A و B است که یا در A باشند و یا در B ولی در هردو نباشند. پس :

البته تفاضل متقارن A و B را با نماد « » نیز نمایش می دهند.

در نمودار ون زیر، ناحیه ی قرمز رنگ تفاضل متقارن A و B است :

نمودار تفاضل متقارن A و B

مجموعه ی توانی :

اگر A مجموعه ی دلخواه باشد، مجموعه ای که شامل تمام زیر مجموع های A باشد و جز آن عضو دیگری نداشته باشد، مجموعه ی توانی A نامیده می شود. پس مجموعه ی توانی A ، مجموعه ای از مجموعه هاست که این مجموعه ها زیر مجموعه ی A هستند.

« مجموعه ی توانی A » را با نماد « » نمایش می دهیم و به صورت زیر تعریف می شود :

حاصلضرب دکارتی مجموعه ها

اگر A و B دو مجموعه باشند، « حاصلضرب دکارتی » آن ها را با نماد « » نمایش می دهیم و به صورت زیر تعریف می کنیم :

بنابر این حاصلضرب دکارتی دو مجموعه ، یک مجموعه است و اعضای آن دوتایی های مرتب ( زوج های مرتب ) هستند. در هر دوتایی مرتب، مؤلفه ی اول ( a ) از مجموعه ی اول ( A ) و مولفه ی دوم ( b ) از مجموعه ی دوم ( B ) انتخاب می شود.

مثال : اگر و در این صورت

همچنین

این مثال نشان می دهد که حاصلضرب دکارتی مجموعه ها، جابجایی نست. یعنی در حالت کلی « »، زیرا اگر A و B مجموعه های ناتهی و مجزا باشند، عضوی مانند x در A ‌هست که در B نیست. پس دارای دوتایی مرتبی با مولفه ی اول x است. اما چنین دوتایی مرتبی ندارد.

گسترش ( تعمیم ) حاصلضرب دکارتی :

حاصلضرب دکارتی مجموعه ها را می توان به بیش از دو مجموعه گسترش داد. حاصلضرب دکارتی n مجموعه ی به صورت زیر تعریف می شود :

درواقع حاصلضرب دکارتی n مجموعه، مجموعه ی n-تایی های مرتبی است که هر n-تایی مرتب، مؤلفه ی اول خود را از مجموعه ی اول و مؤلفه ی دوم خود را از مجموعه ی دوم و ... و مؤلفه ی n-ام خود را از مجموعه ی n-ام می گیرد

اندازه ی مجموعه ها

اگر A یک مجموعه باشد، منظور از « اندازه ی A »، تعداد عضوهای A است. مثلا ً اگر و باشند، اندازه ی A برابر با 4 و اندازه ی B برابر با 3 است زیرا A ، 4 عضو و B ، 3 عضو دارد.

اندازه ی مجموعه ی A را با نماد « |A| » نمایش می دهیم .

مجموعه ی متناهی و نامتناهی

اگر « اندازه ی مجموعه ی A یک عدد طبیعی » باشد ، گوییم « A یک مجموعه ی متناهی » است. مجموعه ای که متناهی نباشد، یعنی اندازه ی آن را نتوانیم با یک عدد طبیعی نشان دهیم، یک « مجموعه ی نامتناهی » نامیده می شود.

مجموعه ی اعداد زوج کوچکتر از 100 یک مجموعه ی متناهی است و مجموعه ی اعداد حقیقی بین 3و4 یک مجموعه ی نامتناهی است زیرا اندازه ی مجموعه ی اول یک عدد طبیعی است و اندازه ی مجموعه ی دوم یک عدد طبیعی نیست.

اگر A و B دو مجموعه ی متناهی باشند، در این صورت . یعنی اندازه ی حاصلضرب دکارتی A و B ، برابر است با حاصلضرب اندازه ی A و اندازه ی B .

زیرا هر مؤلفه ی اول را از مجموعه ی A و از بین |A| عضو انتخاب می کنیم و پس از آن برای هر مؤلفه ی اول، مؤلفه ی دوم ِ دوتایی مرتب را از مجموعه ی B و از بین |B| عضو انتخاب می کنیم.

منبع: سایت www.sinuous83.com