مثالی برای استقرای ریاضی

مثال: نشان دهید برای هر عدد طبیعی n:

پاسخ: اثبات را با استفاده از اصل استقرای ریاضی انجام می دهیم:
1- درستی حکم داده شده را برای n=1 بررسی می کنیم: (مرحله مبنایی استقرا)
سمت راست تساوی: 4
سمت چپ تساوی:
پس برای n=1 طرفین تساوی دادهشده با هم برابر می شوند که نشان می دهد حکم برای n=1 درست است.
2- فرض می کنیم تساوی داده شده به ازای عدد طبیعی n=k برقرار باشد(فرض استقرا) یعنی:

حال نشان میدهیم حکم برای n=k+1 هم برقرار است(حکم استقرا) یعنی:

برای اثبات حکم استقرا از فرض استقرا کمک می گیریم. برای این کار به طرفین فرض استقرا عبارت را اضافه میکنیم:

حال در سمت راست تساوی فوق داریم:


پس نشان داده شد:
به این ترتیب بر طبق اصل استقرا حکم فوق برای هر n عضو اعداد طبیعی برقرار است.