معادله سیاله

معادله سیاله یا معادلهٔ دیوفانتی در ریاضیات معادله‌ای‌ چند جمله‌ای با متغیرهای صحیح است که در آن بیش از یک متغیر (مجهول) داشته ‌باشیم. دستگاه معادلات دیوفانتی دستگاهی از معادلات چند مجهولی است که در آن تعداد مجهول‌ها از تعداد معادله‌ها بیشتر باشد.

مثلاً معادله‌ی x + y = 2 را می توان به صورت y = 2 − x نوشت. به ازای هر x یک مقدار برای y به دست می‌آید. این جوابها را می توان با زوج (x,2 − x) نشان داد. گر چه همین معادله، در مجموعه اعداد صحیح باز جوابهای بیشمار دارد، اما این بار در زوج (x,2 − x) باید به جای x اعداد صحیح قرار دهیم (از این نظر نسبت به حالت اوّل جوابها محدودتر هستند) و سرانجام اگر همین معادله را در اعداد طبیعی حل کنیم، معادله جواب کاملاً محدود و مشخصی پیدا می کند که در اینجا تنها جواب معادله ی x + y = 2 در اعداد طبیعی (1و1) است.

در اینجا حل معادله های دیوفانتی در مجموعه‌ی اعداد صحیح مورد نظر ماست و از این رو اگر در حالت کلی داشته باشیم ax + by = c که در آن a و b و c اعداد صحیح و a و b نسبت به هم اوّل هستند، آنگاه ریشه های این معادله در مجموعه اعداد صحیح به صورت زیر نوشته می شود.

                             y0 = y + ak و x0 = x − xk

که در آن (x0,y0) هر ریشه دلخواه معادله و (k عضو Zاست).

مثلاً یکی از ریشه های معادله x + 2y = 5 عبارت است از (2و1) پس زوج (1 − 2k,2 + k) در ازای هر k که k عضو اعداد صحیح است، یک جواب از این معادله به دست می آید. ممکن است معادله دیوفانتی از درجات بالاتر باشد، در این صورت هم امکان دارد معادله جوابهای بیشمار یا متناهی داشته باشد.

مثال:معادله 3x + 4y = 25 را در مجموعه اعداد صحیح حل کنید.

حل:معادله را به صورت زیر می نویسیم:

                                     3x = 25 − 4y   
                              x = (25 − 4y) / 3 = 8 + (1 − 4y) / 3

چون x عدد صحیح است، بنابراین 8 + (1 − 4y) / 3 باید عدد صحیح باشد، دیده می شود که به ازای y=+1 داریم x=8-1=7 پس (7,1) یکی از ریشه های معادله است و ریشه های دیگر معادله از زوج (x0 − bk,y0 + bk) محاسبه می شود که در آن k عضو اعداد صحیح است . پس سایر جوابهای معادله عبارتند از (7 − 4k,1 + 3k) مثلاً بعضی از ریشه های آن عبارتند از:

                                           k=1 بنابراین (4و3)
                                           k=2 بنابراین (2-و11)

ترکیبیات

ترکیبیات شاخه‌ای از ریاضیات است که به بررسی دسته‌هایی (معمولاً متناهی) از اشیا می‌پردازد که در شرایط معینی صدق می‌کنند. ریشه آن در روش‌های مربوط به شمردن دسته‌بندی‌های مختلف از اشیا یا افراد بوده‌است. امروز مبحث شمارش همهٔ ترکیبیات را در بر نمی‌گیرد بلکه ترکیبیات یکی از شاخه‌های بسیار وسیع عالم ریاضی است و شمارش بخشی از آن است.

شمارش و شمردن حالات انجام یک کار از زمانهای دور مورد بررسی بوده‌است. گویا این کار بیش از همه در جنگها برای شمارش سربازان به کار می‌رفته‌است.

در این قسمت روشهایی را برای شمردن بدون شمارش دانه به دانه معرفی می‌کنیم. ابتدا از دو اصل پر کاربرد شروع می‌کنیم:

۱) اصل ضرب: اصل ضرب می‌گوید که «اگر ما شی داشته و هر یک را به شی قسمت کنیم آنگاه شی خواهیم داشت».این اصل بسیار بدیهی است.حال ما آن را به صورتی پر کاربرد تر بیان می‌کنیم: «اگر پیشامدی به پیشامد پشت سر هم تقسیم گردد و پیشامد اول به حالت و پیشامد دوم به حالت واقع شود آنگاه کل پیشامد به حالت واقع می‌شود.»

مثال: شخصی قصد سفر از شهر به شهر و سپس شهر را دارد. از شهر به شهر ، پنج جاده و از به چهار راه وجود دارد. اگر از به جادهٔ مستقل وجود نداشته باشد به چند طریق می‌توان از به رفت؟ جواب: واضح است که بنا بر اصل ضرب پاسخ برابر ۲۰ می‌باشد. این ساده‌ترین نوع سوال ترکیبیات است.

در اصل شمارش اگر کاری را بتوان به طریق و کار دیگری را بتوان به طریق انجام داد و اگر این دو کار را نتوان هم‌زمان انجام داد آنگاه این یا آن کار را می‌توان به طریق انجام داد.